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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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10. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de f(x)=xe2xf(x)=x e^{2 x} y g(x)=xex+3g(x)=x e^{x+3}.

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=xe2xf(x)=x e^{2 x} y g(x)=xex+3g(x)=x e^{x+3}      

Arrancamos buscando los puntos de intersección entre ambas:

xe2x= xex+3x e^{2 x} = x e^{x+3}

x e2x− xex+3=0x e^{2 x} - x e^{x+3} = 0

Saco factor común xx

x⋅(e2x− ex+3)=0x \cdot (e^{2 x} - e^{x+3}) = 0

Por lo tanto, x=0x=0 ya es solución, y las otras soluciones van a salir de igualar el paréntesis a cero:

e2x− ex+3=0e^{2 x} - e^{x+3} = 0

e2x=ex+3e^{2 x} = e^{x+3}

Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros

2x=x+32x = x + 3

x=3x = 3

Por lo tanto, estas funciones se cortan en x=0x=0 y x=3x=3

Ahora, en el intervalo (0,3)(0,3) nos fijamos quién es techo y quién es piso -> gg es techo y ff es piso

Con esta información nos armamos nuestra integral del área:

A=∫03(xex+3−xe2x) dx A = \int_{0}^{3} (x e^{x+3} - x e^{2x}) \, dx

A=∫03xex+3 dx−∫03xe2x dx A = \int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx - \int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx

Calculamos cada integral por separado en un cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar 1:

∫03xex+3 dx\int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx

Arrancamos primero calculando la integral indefinida:

∫xex+3 dx\int x e^{x+3} \, dx

Esta es una típica integral que sale por partes. Recordemos como siempre:
∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' En este caso tomamos: g=x→g′=1g = x \rightarrow g' = 1
f′=ex+3→f=ex+3f' = e^{x+3} \rightarrow f = e^{x+3}

(Ojo acá, para pasar de f′f' a ff aplicamos sustitución tomando u=x+3u=x+3) Reemplazamos en la fórmula de partes y obtenemos: ∫x ex+3 dx=x ex+3−∫ex+3 dx\int x \, e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - \int e^{x+3} \, dx ∫x ex+3 dx=x ex+3−ex+3+C\int x \, e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - e^{x+3} + C

Ahora aplicamos Barrow:

∫03xex+3 dx= x ex+3−ex+3∣03= 2e6+e3\int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx = x \, e^{x+3} - e^{x+3} \Big|_{0}^{3} = 2e^6 + e^3


Cálculo auxiliar 2:

∫03xe2x dx\int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx

Resolvemos primero esta integral indefinida:

∫xe2x dx\int x e^{2x} \, dx

Esta integral también sale por partes. En este caso tomamos:
g=x→g′=1 g = x \rightarrow g' = 1 f′=e2x→f=12e2x f' = e^{2x} \rightarrow f = \frac{1}{2} e^{2x}

(Para pasar de f′f' a ff aplicas sustitución tomando u=2xu = 2x) Reemplazamos en la fórmula de partes y obtenemos: ∫x e2x dx=12xe2x−12∫e2x dx\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx ∫x e2x dx=12xe2x−12⋅12e2x+C\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C ∫x e2x dx=12xe2x−14e2x+C\int x \, e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C
∫03xe2x dx= 12xe2x−14e2x∣03= 54e6+14\int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \Big|_{0}^{3} = \frac{5}{4} e^{6} + \frac{1}{4}

Listoooo, juntamos ahora los resultados de ambos cálculos auxiliares:

A=∫03xex+3 dx−∫03xe2x dx=2e6+e3−(54e6+14) A = \int_{0}^{3} x e^{x+3} \, dx - \int_{0}^{3} x e^{2x} \, dx = 2e^6 + e^3 - (\frac{5}{4} e^{6} + \frac{1}{4})

Y este es el resultado del área que estábamos buscando :)

Aclaración por las dudas: El resultado ya está, si quisieras podés por ejemplo distribuir ese −- que está adelante del paréntesis y reescribirlo un poco, pero no es necesario, si querés lo podés dejar así y ya está, eso es un número (y positivo, de paso, así que todo perfecto!)
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